牛顿一生中最知名的科研成果被记录在他所著的《自然哲学的数学原理》《光学》《流数学》[13]等书中，为微积分、力学、光学等学科在近代的发展奠定了基础。下面，我们分别介绍一下这些伟大的科学成果。

微积分

我们在介绍阿基米德的一章中，讲了阿基米德采用“逼近法”，也就是和中国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”相似的方法——用不断细分的正多边形的边界去逼近一个圆，其实，这就是“微积分”的数学思想。所谓微积分，就是微分和积分，微分指的是对一个整体进行细分，而积分指的是对这些细分的内容做累加。

比如，现在有一条曲线，我们无法计算它的长度，但是我们会计算线段的长度，于是就把曲线切分成很多短的线段，分别计算小线段的长度再累加起来，就可以得到曲线的大约长度。“割圆术”，也就是这个道理，圆周是曲线，没办法直接计算，但是我们可以观察到，正方形比正三角形的周长更接近这个圆周，正五边形比正方形更接近，正六边形比正五边形更接近……

这种细分无限进行下去，然后进行累加，来求一个难以直接计算的不规则的物体的方法，就是微积分。牛顿对微积分的问题进行了系统的研究，并提出了相应的数学计算方法。在同一时代，另一位数学家莱布尼茨也独立地研究出了相应的求解公式，科学史上一般认为二者可共享这一殊荣。

微积分的应用是非常广泛的，因为这种非规则的问题在生产、生活中极为常见。

同学们小学的时候可能都做过类似的应用题，如：张老伯家的地是个长方形，长70米，宽30米，王老伯家的地是个圆形，直径60米，他们两家种的小麦每年每平方米产量约0.7千克，问两家一年各收获多少小麦。

再如：汽车在高速公路上保持100千米每小时的速度行驶，问90分钟的时间汽车跑了多远。这些题目我们都可以求解，但是，现实生活中，张老伯家的地很可能不是一个规则的长方形，王老伯家的地也很可能不是一个规则的圆形，小麦的生长情况也可能会由于靠近水渠的远近、光照情况的不同而造成差异；汽车也很难在长时间内一直保持不变的速度。

面对这些现实生活中的“不规则”情况，微积分就成了重要的工具。在后人进行科学研究的道路上，微积分是非常重要的方法。

经典力学[14]

在牛顿的诸多伟大成就中，最为人所称道的就是《自然哲学的数学原理》一书。该书出版于1687年，牛顿那一年44岁。这本书总结了牛顿关于力学的各种研究成果，里面的内容涵盖牛顿三定律、万有引力定律、向心力、流体力学与阻力等内容。

我们可以看到，现在中学和大学使用的物理教材上的力学内容几乎全是牛顿在这本书里提出的理论。牛顿在这本书里，搭建起了“力学”大厦最重要的支柱与房梁。这本书的书名，也许会引起同学们的困惑，明明是物理学著作，为什么要叫“自然哲学”，还有“数学”呢？其实，这是一个历史发展的问题，早期科学发展的时候，人们将揭示自然规律的学问，称作“自然哲学”[15]（natural philosophy），把识别并分类各种新的动物、植物、矿物的学问，称作“自然史学”（natural history），也叫“博物学”。

牛顿这个书名揭示了“自然哲学”里面的数学本质，或者说，是用数学的方法来研究物理，也可以说是在进行物理学的理论研究过程中用到了数学工具。

首先是牛顿三定律，正如几何学的定理与公式全部都来源于欧几里得的五条公理[16]，有了牛顿三定律，我们几乎[17]可以解决遇到的一切力学问题，而这三条定律，又是那样的简洁、优雅：

第一运动定律又被称作“惯性定律”：物体在所受合外力为零时会一直保持静止或匀速直线运动。

第二运动定律：物体的加速度[18]等于所受合外力除以质量。

第三运动定律：每一个力都会有一个反作用力与之对应，二者大小相等，方向相反。

其实，牛顿第一定律我们已经熟悉了。在伽利略一章中，我们介绍过伽利略用两个斜面底部相接，然后将小球从左侧斜面的某一高度释放，无论右边的斜面倾斜角度是多少，小球都可以到达和释放时差不多的高度。那么，如果是把右边的斜面放平，小球从斜面上运动到平面上，小球就永远到不了原来的高度，理想情况下，它可以一直运动下去，也就是小球在不受力的时候，保持匀速直线运动。

和第一定律一样，第二定律、第三定律也都是从实验中总结出来的物理定律。它们和欧几里得的五大公理一样，都无法用数学的方式推导得出，反而可以使用它们推导出很多其他的定理。它们就像所有公式最初的“源头”一样。人们研究数学的时候，首先会提出不需要证明的“公理”[19]，当然，公理也必须是没有反例的，然后用不需要证明的公理做源头，推导其他的定理和公式，如果推出了矛盾，说明提出的公理有误；如果推出的定理也都正确，说明公理是正确的，以公理为“源头”推出的整个体系都暂时[20]是正确的。

数学是物理的基础，物理采用了同样的逻辑体系，用已经总结出的定律来推导出新的定理。但是，物理和数学也是有区别的：物理建立在实验之上，也就是说，实验和数学逻辑，这两者都是“物理”大厦的基石，少了哪一块都不行。

物理理论中，推导出的内容不仅自身要没有矛盾，还不能和实验结果相矛盾。如果理论推导的结果与实验不一致，要么是实验失败，没有测量准确；要么就是理论出现了错误。

从伽利略开启了现代物理学后，经过几百年的发展，物理学家们提出新的理论时，仍然会想办法用实验验证自己的理论，如果某个理论无法直接用实验验证，那就用实验去验证它的推论，脱离了实验，物理定律就成了无源之水、无本之木。

牛顿三大定律作为经典力学整个理论体系的“源头”，它本身是经过了实验验证的。并且，它推导出的新的内容，也是需要用实验来验证的，后世的科学家不断完善了各种验证，工程师们也把牛顿的理论应用在了工程当中。

我们可以想象一下，在峡谷上搭建一座桥梁，计算各个模块受力情况的时候，牛顿第三定律被反复使用；把一颗卫星送上太空，火箭每时每刻的运动情况都可以用牛顿第二定律计算……

除了牛顿三大定律以外，万有引力定律的提出也是牛顿在力学领域作出的伟大贡献。

也许你听说过牛顿坐在苹果树下，被落下的苹果砸到，然后想出了万有引力定律的故事，但那只是后人加工出来的传言。牛顿得出万有引力定律，是经过了非常精妙的推理，并借助了大量天文观测数据的。

下面，我们就来欣赏一下这个美妙的过程。

首先，人们观察到身边的物体在没有支撑的时候都会落到地面上，但是月球一直绕着地球转动，却一直都在天上，从未落到地球表面上。

其实，月球不会落下来的原因，牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中，就率先推导过向心力[21]的问题。月球绕着地球转，它的运动轨迹是一个绕着地球的圆，可以看作匀速圆周运动，尽管速度大小没有改变，但是速度的方向是始终在改变的，这并不是匀速直线运动，因此并不符合牛顿第一定律中描述的“合外力为零”。

这说明月球必须受一个外力的作用，才能使它做匀速圆周运动，而外力的大小，应该满足牛顿第二定律所描述的——等于月球的质量乘以月球的加速度。

速度，描述的是物体位置改变的快慢程度；而加速度，描述的是物体速度改变的快慢程度。匀速圆周运动的加速度可以用几何方法推导得出，反比与周期的平方，正比于轨道半径。所以，月球所受的这个外力，就可以用牛顿第二定律得出，等于月球质量乘以这个向心加速度，表达式写出来是：

公式看起来有点复杂？没关系，其实都对应着刚才的文字解释，F代表这个力，m代表月球的质量，π就是圆周率，r代表月球绕着地球旋转的轨道半径，T代表月球转一周所需要的时间，即周期。牛顿就是从这个公式出发，得到了万有引力的表达式的，整个推理过程可谓精彩。

既然，月球做圆周运动，需要上面表达式里的力来为它提供加速度，也就是需要受到这样的一个外力，而月球悬在太空中，并不与其他物体接触，能够为它提供这个力的，只有地球对月球的万有引力。这说明，上面表达式里的力，就等于万有引力。

但是，上面的表达式里，只有月球的质量m，而根据牛顿第三定律，地球对月球的引力，应该等于月球对地球的引力。那么，真正的万有引力公式里，就不应该只有月球质量这一项，地球质量与月球质量这两个参数应该享有同等地位！因此，地月之间的万有引力应该不仅仅与月球的质量成正比，应该与地球质量、与月球质量都成正比，也就是二者相乘。

其中这个像数字8躺倒了又有个缺口的符号，意思是“正比于”，即万有引力F正比于地球质量M与月球质量m的乘积。到这里，我们再观察最开始那个公式，分母上有周期的平方，这一项其实也可以被消掉——一个公式里，所包含的内容越简洁，这个公式揭示的规律越具有通用性——这是历代科学家们一直以来追求的目标。牛顿也巧妙地消掉了这里的周期一项——他借用了开普勒的研究成果。

开普勒是16世纪—17世纪德国著名天文学家，他精通天文学与数学，他还有一位伟大的老师——丹麦天文学家第谷·布拉赫[22]。这位伟大的天文学家用毕生精力观测行星运动，尽管他一直信奉地心说，但是他留下的精确的观测结果依然促进了科学的进步。

开普勒没有拘泥于地心说，他用数学知识分析了其老师留下的数据：一方面，他发现当各个行星（包括地球）以太阳为中心旋转时，获得的规律更加简洁、统一，他把这些写进著作，支持了哥白尼的日心说；另一方面，他总结了以太阳为中心时，行星运动的数学规律，后世称之为“开普勒三定律”：

所有行星绕太阳旋转的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

行星和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

所有行星绕太阳公转周期的平方与轨道半长轴的三次方成正比。

开普勒三定律描述的是椭圆，看起来好像很复杂。但是，这里可以做个类比，因为行星的轨道都是接近正圆的椭圆，因此，完全可以将其看作圆，第三定律中的“半长轴”，其实就可以替换为轨道半径。

牛顿正是利用了开普勒第三定律，消去了原公式中的周期T。也许你注意到了，最初的推导里，我们用的例子是地球和月球，而开普勒三定律里描述的是太阳和行星，其实这并不影响最终的结论，因为月球绕着地球转，和行星绕着太阳转，是一样的情况，都是近似的匀速圆周运动，都是受万有引力约束下改变速度的方向。

因此，这里完全可以把公式里的M替换成太阳质量，m替换为任意一个行星的质量T，r替换为该行星的周期与轨道半径。这时候，用上开普勒第三定律，周期的平方和轨道半径的三次方成正比，也就是：

这里的K，是个比例系数，是常数。那么，把这个式子代入最初的式子，替换掉周期，原公式就变成了分子上一个r，分母上r的三次方，也就是说——力和轨道半径的平方成反比！再结合最初我们推出的，万有引力和两个物体的乘积成正比，就可以得出：

这里面的G，是个常数系数，被称作万有引力常量。推导到这里，优美的万有引力定律表达式，终于“千呼万唤始出来”。看到这里，同学们大概也能理解，为什么说牛顿仅仅被苹果砸一下就悟出万有引力定律这件事，只是个传说故事而已。得出这一定律，需要严密的逻辑，大胆的假设，还必须借助第谷、开普勒等科学家前辈的成果，才能得出这一伟大的定律，其间的努力，绝非苹果树下的一点感悟可以概括的。

牛顿推导出了万有引力定律的表达式，但是此时，这个公式还没办法计算天体之间的引力，因为万有引力常数G是多少还不知道，没办法计算引力F。

后来，英国科学家卡文迪许巧妙地设计实验，测出了万有引力常数，使得完整的万有引力定律便用在天文学的研究当中。

这一伟大成就的一次重要应用，就是在“笔尖上”发现了海王星。19世纪，天文学家通过观测，获得了天王星的轨道数据，但是科学家发现观测到的数据和理论计算的数据有偏差，这种偏差，似乎暗示了在天王星轨道外侧还有一个比它更重的东西在吸引它。

人们使用牛顿三大定律与万有引力定律进行更精确的计算，获得了要想让天王星的轨道发生这样的异常，那个更外侧的行星理论上运行轨道的相关信息，天文学家们按照这一计算结果进行观测，果然看到了一颗光芒暗淡的行星。随后，这颗行星被命名为“海王星”，成为太阳系的第八颗行星。由于这一传奇性的发现过程，人们也称之为“笔尖下发现的行星”。

牛顿在力学领域可谓是第一位集大成者。牛顿三大定律是整个力学体系的基础，万有引力定律指导了天文学的进一步发展，他的研究成果统一了天上的物体与地下的物体所遵循的物理规律，这种对不同物理学分支的“统一”，一直都是物理学家们追求的目标。

光学

牛顿曾在大学中讲授光学，并在1704年写了他的另一本巨著《光学》。牛顿用三棱镜对太阳光，也就是白光进行分解，分解出了和彩虹一样的多种颜色，证实了白光并非单色光，而是由不同颜色的光合成的。这种分解的原理其实非常简单，光在从一种介质[23]，传播到另一种介质中的时候，路线会发生偏折，而不同颜色的光，偏折的程度是不一样的。因此，牛顿使用三棱镜，可以让不同偏折程度的光路线分开，它们叠在一起的时候是白色，分开以后，就呈现各自的颜色了。牛顿又用第二个棱镜，把不同的彩色光再次叠在一起，又呈现了白色。

牛顿的分光实验意义重大，这说明此前使用的透镜式望远镜，其玻璃镜片必然会带来不同颜色的光的分离，会对天文观测造成影响。因此，牛顿发明了反射式望远镜，让天文观测避免了单色光分离的影响，这种望远镜又被人们称为“牛顿望远镜”。

牛顿还注意到，无论是反射，还是折射，不同的色光都不会改变自身的颜色，我们平时所观察到的五彩斑斓的世界，就是不同颜色的光的重叠。

牛顿在《光学》一书中，提出了光的微粒学说，他认为光是由粒子组成的，这很直接地符合光沿直线传播这一特性，但是后来的科学家无法用微粒学说解释光的干涉和衍射，因此出现了光的波动学说。

到了20世纪，在爱因斯坦等科学家的研究下，人们逐渐认识到，光具有波粒二象性。